$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$Para demonstrar que em qualquer intervalo aberto da reta existe um número racional, precisamos da propriedade arquimediana dos números reais:

Se $r\in\R$, com $r>0$, então existe um número $n\in\N$ tal que $0<\frac{1}{n}<r$.

Agora, considere um intervalo aberto $I=(a,\,b)$, com $a$ e $b$ em $\R$ e $a<b$.

Temos três casos:

  • $a<0<b$
  • $0<a<b$
  • $a<b<0$

O primeiro caso é trivial, pois zero é racional por definição.

Para o segundo caso, $0<a<b$, seja $r=b-a$. Implica que $r>0$, pois $b>a$. Pela propriedade arquimediana, existe $n\in\N$ tal que $\frac{1}{n}<r$.

Como $\frac{1}{n}<r=b-a$, então existe um $m\in\N$ tal que $a< \frac{m}{n}< b$. Esse $m$ pode ser pensado como um múltiplo do racional $\frac{1}{n}$, de modo que esse múltiplo $\frac{m}{n}$ em algum momento caia no intervalo $(a,\,b)$, exemplificado na figura a seguir:

Esquematização da propriedade arquimediana dos números reais em um intervalo aberto

Logo, $\frac{m}{n}\in\Q\cap(a,\,b)$ para o segundo caso.

Para o terceiro caso, $a<b<0$, pode-se pensar no caso anterior refletido na origem:

Esquematização de um intervalo refletido na origem

Como $a<b<0$, então $0<-b<-a$. Pelo caso anterior, existe $s\in\Q$ tal que $s\in(-b,\,-a)$. Logo, $-s\in\Q\cap(a,\,b)$.