$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$A interpolação exponencial ($eerp$ — cunhado por Freya Holmér) é uma técnica de interpolação paramétrica que, assim como a interpolação linear, pode ser fixa ou não-fixa:

\[eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=\color{red}{a}^{(1-\color{magenta}{t})}\color{blue}{b}^\color{magenta}{t}\text{, com }\color{red}{a},\,\color{blue}{b}\in\R^*_+\text{ e }\color{magenta}{t}\in\R\]

Para a versão fixa, o teste da primeira derivada evidencia que se trata, de fato, de uma interpolação entre $\color{red}{a}$ e $\color{blue}{b}$. Considere:

\[eerp'(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})[\ln(\color{blue}{b})-\ln(\color{red}{a})]\]

  • Quando $\color{red}{a}>\color{blue}{b}$, então $\inf_{\color{magenta}{t}\in[0,1]} eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=\color{blue}{b}$ e $\sup_{\color{magenta}{t}\in[0,1]} eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=\color{red}{a}$:

Como $eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})>0$ e $\ln(\color{red}{a})>\ln(\color{blue}{b})$, tem-se $eerp'$ negativa. Portanto, $eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})$ é estritamente decrescente. Assim, tem-se:

\[\inf_{\color{magenta}{t}\in[0,1]}eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,0)=\color{blue}{b}\]

E,

\[\sup_{\color{magenta}{t}\in[0,1]}eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,1)=\color{red}{a}\]
  • Quando $\color{red}{a}<\color{blue}{b}$, então $\inf_{\color{magenta}{t}\in[0,1]} eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=\color{red}{a}$ e $\sup_{\color{magenta}{t}\in[0,1]} eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=b$:

Como $eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})>0$ e $\ln(\color{red}{a})<\ln(\color{blue}{b})$, tem-se $eerp'$ positiva. Portanto, $eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})$ é estritamente crescente. Assim,

\[\inf_{\color{magenta}{t}\in[0,1]}eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,0)=\color{red}{a}\]

E,

\[\sup_{\color{magenta}{t}\in[0,1]}eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,1)=\color{blue}{b}\]

  • Quando $\color{red}{a}=\color{blue}{b}$, tem-se $eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})$ constante, pois:

\[eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=\color{red}{a}^{(1-\color{magenta}{t})}\color{blue}{b}^\color{magenta}{t}=\color{red}{a}^{(1-\color{magenta}{t})}\color{red}{a}^\color{magenta}{t}=\color{red}{a}\]

Veja a interpolação exponencial em ação:

Ela pode aparecer de outras formas. Por exemplo, a partir da reescrita $y=c^{\log_c y}$, com $c\in\R^*_+$ e $c\neq1$:

\[\begin{align*} eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t}) &=\color{red}{a}^{(1-\color{magenta}{t})}\color{blue}{b}^\color{magenta}{t}\\ &=c^{\log_c \color{red}{a}^{(1-\color{magenta}{t})}}\cdot c^{\log_c \color{blue}{b}^\color{magenta}{t}}\\ &=c^{(1-\color{magenta}{t})\log_c \color{red}{a}\,+\,\color{magenta}{t}\log_c \color{blue}{b}}\\ &=c^{lerp(\log_c \color{red}{a},\;\log_c \color{blue}{b},\;\color{magenta}{t})} \end{align*}\]

Ainda, há outra forma mais interessante computacionalmente pela remoção de um cálculo de potência:

\[\begin{align*} eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t}) &=\color{red}{a}^{(1-\color{magenta}{t})}\color{blue}{b}^\color{magenta}{t}\\ &=\frac{\color{red}{a}}{\color{red}{a}^\color{magenta}{t}}\color{blue}{b}^\color{magenta}{t}\\ &=\color{red}{a}\left(\frac{\color{blue}{b}}{\color{red}{a}}\right)^\color{magenta}{t} \end{align*}\]

Isso significa que a interpolação exponencial é uma função exponencial de base positiva. Como toda função exponencial é infinitamente diferenciável, então $eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})$ é infinitamente diferenciável. Assim, a $n$-ésima derivada em relação a $\color{magenta}{t}$, com $n\geqslant1$, é:

\[eerp^{(n)}(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})=eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})\cdot\ln\left(\frac{\color{blue}{b}}{\color{red}{a}}\right)^n\]

Portanto, tem-se $eerp(\color{red}{a},\,\color{blue}{b},\,\color{magenta}{t})\in C^\infty$ (uma função suave).